Maple之梯子问题

夜神月

靠墙有一宽为a高为b的不可压花棚，至少要多长的梯子才能越过花棚斜靠墙上？

假设：1.梯子是直的；2.墙与地面垂直；3.地面是平面；4.花棚的顶与墙垂直。

模型1：考查过(3,2)点的直线与两轴交点间长度最小值，若≥7，就可以在x轴上求出最小值点，放置梯子。

模型2：(仿真模拟)将梯子一端放置于x轴上不同点，并令其过(3,2)点，由长度7求出另一端点x坐标，当x≤0，则梯子长度够用，对应x轴上的点为梯子放置点，若始终x>0，则梯子不够长。

示意图:

>with(plottools):l:=animate(2-2*(x-3)/t,x=0..6,t=1.7..4,color=green,linestyle=20):p:=polygon([[0,0],[0,2],[3,2],[3,0]],color=red,linestyle=20,thickness=3):display(l,p);

优化模型：梯子看作直线，棚宽a=3,棚高b=2作为平面上点的坐标，考查过(3,2)点直线y-2=-k(x-3)在两轴交点间距离的最小值。两轴交点为(0,2+3k)，(3+2/k,0)，交点间距离L=[(3+2/k)^2+(2+3k)^2]^0.5  (k为斜率绝对值，也可用x轴交点x0作为自变量)

> l:=((3-2/k)^2+(2-3*k)^2)^0.5:

> plot(l,k=0.1..5);

> l0:=minimize(l,k,0.1..10);

> fsolve(l=7.0235,k);

用极值函数extrema：(以-k=-2/(t-3)替换上式,t为直线与x轴交点)

> l:=(t^2+(2+6/(t-3))^2)^0.5:

> readlib(extrema):extrema(l,{},t,'s');evalf(s);

> assign(s[3]):evalf(l);t:='t':

仿真：y-2=k(x-3),取x=x0,y=0求出k=2/(3-x0),由此得长度=7时另一端点x坐标7cos(a)：

x1=x0-7*(x0-3)/[2^2+(3-x0)^2]^0.5,对x0取步长对实际仿真。

> restart:

> a:=3.1:

> for x0 from 3 by 0.01 to 7 do  x:=x0+7*(3-x0)/sqrt(4+(3-x0)^2):if x<a then a:=x else print(x0,x);x0:=7 fi od:

> restart:

>a:=seq([3+.3*n,0*n],n=1..10):b:=seq([3+.3*n-7*.3*n/sqrt(4+(.3*n)^2),14/sqrt(4+(.3*n)^2)],n=1..10):

> with(plots):with(plottools):

>for i from 1 to 10 do l:=line(a,b,color=blue,thickness=2) od:

>h:=polygon([[0,0],[0,2],[3,2],[3,0]],color=red,thickness=3):display(l[1],l[2],l[3],l[4],l[5],l[6],l[7],l[8],l[9],l[10],h);

思考问题：当梯子长L=6.5,棚高b=2时，要保证梯子不会压坏花棚，花棚最宽可为多少。